Question

5．在sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$中，B=60°，AC=$\sqrt{3}$，则AB+2BC的最大值为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 法一：设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．
法二：利用正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，根据三角函数恒等变换的应用化简可得AB+2BC=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：法一：设AB=c AC=b BC=a，
由余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
所以a²+c²-ac=b²=3，
设c+2a=m，代入上式得：7a²-5am+m²-3=0，
△=84-3m²≥0 故m≤2$\sqrt{7}$，
当m=2$\sqrt{7}$时，此时a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$符合题意，
因此最大值为2$\sqrt{7}$．
法二：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2$，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°-A）+4sinA
=2（sin120°cosA-cos120°sinA）+4sinA
=$\sqrt{3}$cosA+5sinA
=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），（其中sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，cosφ=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$）
所以AB+2BC的最大值为2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，涉及了解三角形和函数思想的运用，属于中档题．