Question

5．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间．
（2）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出f（x）的导函数f′（x），令f′（x）＞0，得出函数f（x）的单调增区间，反之得出单调减区间；
（2）求出函数f（x）的导函数，得出$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，求出a和b．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x+b，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=3x²-3＞0，则x＞1或x＜-1；
f′（x）=3x²-3＜0，则-1＜x＜1．
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），递减区间为（-1，1）
（2）f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$
解之，得a=4，b=24．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及单调区间的求法，考查了运算能力，属于基础题．