题目内容
8．高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为$\frac{（\sqrt{17}-1）^{3}}{48}π$．分析 由等体积可得内切球半径r，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积．
解答 解：正四棱锥的斜高为$\sqrt{17}$，正四棱锥内切球的半径为r
由等体积可得$\frac{1}{3}×{2}^{2}×4=\frac{1}{3}（4+4×\frac{1}{2}×2×\sqrt{17}）$r，
∴r=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为$\frac{4}{3}•π•$（$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$）3=$\frac{（\sqrt{17}-1）^{3}}{48}π$．
故答案为：$\frac{（\sqrt{17}-1）^{3}}{48}π$．
点评 本题主要考查内切球半径r，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．
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