Question

设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，已知椭圆E上的任意一点P，满足•的最小值为a²，过F₁作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过F₁的直线交椭圆于A，B两点，求•的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P（x，y），用坐标表示出•，根据二次函数性质求得其最小值，令最小值为a²，由长轴长可得=，结合a²=b²+c²即可解得a，b；
（2）当过F₁的直线AB的斜率不存在时，容易求得此时•；当过F₁的直线AB存在斜率时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消去y得x的二次方程，利用韦达定理及向量数量积运算可把•表示为关于k的函数，根据k的取值范围即可求得•的范围，综上即可求得答案．
解答：解：（1）设点P（x，y），则，
∴，
∵，
∴，∴a=2c，
又，∴，∴，a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为：；
（2）当过F₁的直线AB的斜率不存在时，点A（-1，）B（-1，-），则•=；
当过F₁的直线AB存在斜率时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
，，
所以•=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=
=+（k²+1）==-，
∵k²≥0，∴-3≤•＜，
综上所述，∴-3≤•＜；
点评：本小题主要考查椭圆的方程、几何性质，平面向量的数量积的坐标运算，直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力．