Question

16．设G为三角形ABC的重心，且$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{BG}$=0，若$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=\frac{λ}{tanC}$，则实数λ的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用G点为△ABC的重心，且$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{BG}$=0得到$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{BG}$=0，进一步得到用$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可．

解答 解：G为三角形ABC的重心，且$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{BG}$=0，∴$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$•$\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{3}$=0，
即$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$•$\frac{\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}}{3}$=0，∴b²-2c²-2bc•cosA=0．
又$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=\frac{λ}{tanC}$，即$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{λcosC}{sinC}$，
∴λ=（$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$ ）•$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$•$\frac{sinC}{cosC}$ 
=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$•$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{{sin}^{2}C}{sinA•sinB•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab•\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形重心的性质以及数量积的运算和余弦定理的运用；关键是得到三边的关系，属于中档题．