题目内容

已知 $数学公式$ ，且f（x）= $数学公式$ ．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．

解：（I）f（x）= $\text{[math]}$ =2cos²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，故函数的周期为π．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故函数的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，即sin（A+B）=-2sinCcosB，
∴cosB=- $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ．
∴f（A）=2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）+1．
由于 0＜A＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜2A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，＜ $\text{[math]}$ sin（2A+ $\text{[math]}$ ）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范围为（2，3]．
分析：（I）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，从而求得它的周期．再由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=- $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ 得到 f（A）=2sin（2A+ $\text{[math]}$ ）+1，根据A的范围，求出 2A+ $\text{[math]}$ 的范围，可得sin（2A+ $\text{[math]}$ ）的范围，从而求得f（A）的取值范围．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积公式，正弦定理的应用，属于中档题．