Question

16．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）设AA₁=AC=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，求异面直线AB₁与CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁交A₁C于O，连结DO，则DO∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）连结AB₁，取BB₁中点M，连结DM、CM，则DM∥AB₁，从而∠CDM就是所求异面直线所成角（或补角），由此能求出异面直线AB₁与CD所成角的大小．

解答 证明：（1）连结AC₁交A₁C于O，连结DO，
∴DO为△ABC₁的中位线，DO∥BC₁，
又BC₁?面A₁DC，DO?面A₁DC，
故BC₁∥平面A₁CD．
解：（2）连结AB₁，取BB₁中点M，连结DM、CM，
则DM是△ABB₁的中位线，∴DM∥AB₁，
∴∠CDM就是所求异面直线所成角（或补角），
∵AA₁=AC=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，
∴CM=$\sqrt{5}$，DM=$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴DM²+CD²=CM²，满足勾股定理，∴∠CDM=90°，
故异面直线AB₁与CD所成角为90°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．