Question

12．已知条件p：幂函数f（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a-2}$在（0，+∞）上单调递增，条件q：g（x）=x+$\frac{1}{x}$极小值不小于a，则q是￢p成立的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既非充分也非必要条件

Answer 1

分析 根据幂函数的定义求出a的范围，从而求出￢p，根据函数的单调性求出g（x）的极小值，从而求出q，结合集合的包含关系判断即可．

解答 解：∵幂函数f（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a-2}$在（0，+∞）上单调递增，
∴a²-a-2＞0，解得：a＞2或a＜-1，
故p：a＞2或a＜-1，￢p：-1≤a≤2；
g（x）=x+$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令g′（x）＜0，解得：-1＜x＜0且x≠0，
故g（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）的极小值是g（1）=2，
故q：a≤2，
则q是￢p成立必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题考查了充分必要条件，考查幂函数的性质以及函数的单调性、极值问题，是一道中档题．