Question

20．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），长轴长为4，设点A（3，4）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由已知可得：2a=4，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，联立解得即可得出．
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），则x=$\frac{3+{x}_{0}}{2}$，y=$\frac{4+{y}_{0}}{2}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-3}\\{{y}_{0}=2y-4}\end{array}\right.$，代入椭圆的标准方程即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由已知可得：2a=4，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，联立解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），
则x=$\frac{3+{x}_{0}}{2}$，y=$\frac{4+{y}_{0}}{2}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-3}\\{{y}_{0}=2y-4}\end{array}\right.$，
代入椭圆的标准方程可得：$\frac{（2x-3）^{2}}{4}$+（2y-4）²=1．
∴线段PA中点M的轨迹方程为$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{（y-2）^{2}}{\frac{1}{4}}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．