题目内容

5．已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=10，则|AF|•|BF|=20．

分析 由抛物线y2=8x与过其焦点（2，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=x1x2+x1+x2+1，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：由题意知，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），设直线AB的方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立，可得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0．
设出A（x1，y1）、B（x2，y2），
则 x1+x2=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x1x2=4．
依据抛物线的定义得出|AB|=10，∴x1+x2+4=10，∴x1+x2=6，
|AF|•|BF|=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4+12+4=20，
故答案为20．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．

练习册系列答案
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