Question

7．已知函数g（x）=a-x³（$\frac{1}{e}≤x≤e\;，\;e$为自然对数的底数）与h（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是[1，e³-3]．

Answer 1

分析 由已知，得到方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在[$\frac{1}{e}$，e]上有解，构造函数f（x）=3lnx-x³，求出它的值域，得到-a的范围即可．

解答 解：由已知，得到方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．
设f（x）=3lnx-x³，求导得：f′（x）=$\frac{3}{x}$-3x²=$\frac{3（1-{x}^{3}）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-3-$\frac{1}{{e}^{3}}$，f（e）=3-e³，f（x）_极大值=f（1）=-1，
且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x²在上有解等价于3-e³≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e³-3]．
故答案为：[1，e³-3]．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在上有解．