Question

设复数z的辐角主值为θ，θ∈(0，)，且满足|z－i|＝1．

　　

(1)求复数的辐角主值；

(2)设z，z－i在复平面上的对应点分别为A，B，求△OAB的面积S的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)设z＝r(cosθ＋isinθ)，∵|z－i|＝1， ∴＝1，∴r＝2sinθ，∴z＝sin2θ＋，∴z－i＝sin2θ＋i＝sin2θ－icos2θ＝cos＋isin，∴－zi＝z·(z－i)的辐角是＋3θ＋2kπ(k∈Z)．又因为θ∈． 　　∴当θ∈的辐角主值为时，． 　　(2)由(1)知：|OA|＝|z|＝r＝2sinθ；|OB|＝|z－i|＝1，且∠AOB＝(θ＋2π)－，∴S＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝·2sinθ·1·sin．∵θ∈，∴2θ∈．