Question

如图，E、F分别为棱长为1的正方体的棱A₁B₁、B₁C₁的中点，点G、H分别为面对角线AC和棱DD₁上的动点（包括端点），则下列关于四面体E-FGH的体积正确的是 （　　）

A．此四面体体积既存在最大值，也存在最小值

B．此四面体的体积为定值

C．此四面体体积只存在最小值

D．此四面体体积只存在最大值

Answer 1

分析：根据EF∥AC，可知点G到直线EF的距离为定值则三角形EFG的面积为定值，只需研究点H到平面EFG的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围．

解答：解：∵E、F分别为棱长为1的正方体的棱A₁B₁、B₁C₁的中点
∴EF∥A₁C₁，而A₁C₁∥AC
∴EF∥AC
而G为面对角线AC上的动点
∴点G到直线EF的距离为定值则三角形EFG的面积为定值
此四面体体积V=

1

3

S_△EFGh，h为点H到面EFG的距离
根据直线D₁D与面EFG相交，当点H在D₁处h取最大值，在点D处取最小值
∴此四面体体积既存在最大值，也存在最小值
故选A．

点评：本题主要考查了四面体的体积，以及运动中的不变问题，同时考查了了空间想象能力和转化的思想，属于中档题．