Question

11．已知△ABC的面积为9$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{AC}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}}）$=18，向量$\overrightarrow m$=（tanA+tanB，sin2C）和$\overrightarrow n$=（1，cosAcosB）是共线向量．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据向量关系结合三角函数的倍角公式进行化简即可，
（2）根据向量数量积的公式以及三角形的面积公式，余弦定理建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）因为向量向量$\overrightarrow m$=（tanA+tanB，sin2C）和$\overrightarrow n$=（1，cosAcosB）是共线向量，
所以cosAcosB（tanA+tanB）-sin2C=0，…（2分）
即sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosC=0，
化简得sinC-2sinCcosC=0，即sinC（1-2cosC）=0．…（4分）
因为0＜C＜π，所以sinC＞0，
从而cosC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$  …（6分）
（2）∵$\overrightarrow{AC}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}}）$=18，
∴18=$\overrightarrow{AC}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}}）$=$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|²，
则|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，于是AC=3$\sqrt{2}$．…（8分）
因为△ABC的面积为9$\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{2}$CA•CBsinC=9$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}×$3$\sqrt{2}$CBsin$\frac{π}{3}$=9$\sqrt{3}$，解得CB=6$\sqrt{2}$               …（10分）
在△ABC中，由余弦定理得AB²=CA²+CB²-2CA•CBcosC=（3$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$  ）²-2×3$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=54，
所以AB=$\sqrt{54}$=3$\sqrt{6}$． …（12分）

点评 本题主要考查向量关系，向量数量积以及余弦定理的应用，综合考查三角函数和向量的关系，考查学生的计算能力．