Question

2．如图，在△ABC中，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3，D在线段BC上．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}$=3$\overrightarrow{ED}$，且$\overrightarrow{BE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，求x+y；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，求|${\overrightarrow{AD}}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量基本定理建立方程关系进行求解．
（Ⅱ）根据向量数量积的公式进行求解．

解答 （1）$解：由题可知\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$，
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}（{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}）=-\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$，
∴$x+y=-\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{1}{4}$．…（6分）
（2）若$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，则$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$，
在△ABC中由余弦定理：$BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}-2AB•AC•cos∠BAC}=\sqrt{{2^2}+{3^2}-2×2×3×cos\frac{π}{3}}=\sqrt{7}$
根据三角形面积相等，$\frac{1}{2}AB•AC•sin∠BAC=\frac{1}{2}BC•AD$，
∴$|\overrightarrow{AD}|=\frac{{2×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{3\sqrt{21}}}{7}$．…（6分）

点评 本题主要考查向量基本定理以及向量数量积的应用，考查学生的运算能力．