题目内容
为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%.从1999年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数)?
解析:设该地区总面积为1,1998年底绿化面积为a1=
,
经过n年后绿洲面积为an+1?.?
设1998年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则a1+b1=1,an+bn=1.?
依题意an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an,另一部分是新绿化的12%·bn,?
∴a n+1=92%·an+12%(1-an)= 
an+
,an+1-
=
(an-
).?
∴{an-
}是以-
为首项, 
为公比的等比数列,则an+1=
-
(
)n.?
∵an+1＞50%,∴
-
(
)n＞
.?
∴(
)n＜
.n＞
=
＞3.?
则当n≥4时,不等式(
)n＜
恒成立.?
所以至少需要4年才能使绿化率超过50%.
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