Question

设有圆心为(a_k,0),半径为r_k(k=1,2,…)的一系列半圆C₁,C₂,C₃,…,每相邻半圆互相外切,并且都和直线y=-x+1相切.

(1)用r_k表示a_k;

(2)用r_k-1表示r_k;

(3)若a₁＜0,半圆C₁和y轴相切,求r₁;

(4)在(3)中的半圆C₁是这一系列半圆的左起第一个半圆,面积为S₁,第k个半圆的面积为S_k,求S₁+S₂+S₃+…+S_k+….

Answer 1

思路解析：这是一个圆与数列相结合的综合题,首先根据半圆与半圆的相切找到几个量之间的关系,根据关系判断数列的类型,再根据数列的类型,完成求和等内容.

解：(1)由题设条件,得直线l的方程为3x+4y-4=0.

圆心到直线的距离

d=r_k=.所以a_k=

(2)连结AC_k,BC_k-1,其中A、B分别为圆C_k与圆C_k-1与l的切点,作C_kD⊥C_k-1B,则ABDC_k是矩形.

k_AB=k_CD=-,所以.

故r_k=r_k-1.

(3)因为a₁＜0,r₁＞0,所以r₁=-a₁.

由点到直线的距离公式可得r₁=.

所以r₁=2.

(4)由(2)可得r_k=r_k-1,r₁=2,

所以r₁,r₂,…,r_k,…构成公比为的等比数列.

又S₁=πr₁²=2π,S₂=π,S₃=π,可知S₁,S₂,…,S_k…构成公比为＜1的等比数列.

所以S₁+S₂+S₃+…+S_k+…=.