Question

5．下列函数中，最小值为4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+3}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+3}}$

Answer 1

分析 在A中，当x＜0时，$y=x+\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4；在B中，由sinx≤1，知y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4不正确；在C中，y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4；在D中，当x=0时，y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$＜4．

解答 解：在A中，当x＞0时，$y=x+\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4；
当x＜0时，$y=x+\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4．故A错误；
在B中，当0＜x＜π，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，
当且仅当sinx=2时取等号，由sinx≤1，知B不正确；
在C中，y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，
当且仅当e^x=4e^-x，即e^x=2时，取最小值，故C正确；
在D中，当x=0时，y=$\sqrt{{x}^{2}+3}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+3}}$=$\sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$＜4，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查函数值的最小值的判断，是基础题，解题时认真审题，注意基本不等式性质的合理运用．