Question

6．设函数f（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，（x＞0），若对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，则m的取值范围是为$（-\frac{37}{3}，-9）$．

Answer 1

分析 通过求导结合函数的单调性得出不等式组，从而确定m的取值范围．

解答 解：f（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，
∴f′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且f′（0）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（t）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，
由题意得：对于任意的t∈[1，2]，f′（t）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）＜0}\\{f′（2）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{37}{3}$＜m＜-9，
故答案为：$（-\frac{37}{3}，-9）$．

点评 本题考察了求导函数，讨论函数的单调区间，导函数的应用，是一道中档题．