题目内容
已知m=，则有【 】
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．﹣5＜m＜﹣4 D．﹣6＜m＜﹣5
A
已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列
（Ⅰ）若 ，是否存在，有？请说明理由；
（Ⅱ）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；
（Ⅲ）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明.
【解析】第一问中，由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。
（2）中当时，则
即，其中是大于等于的整数
反之当时，其中是大于等于的整数，则，
显然，其中
、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数
（3）中设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，
当为偶数时，式不成立。由式得，整理
当时，符合题意。当，为奇数时，
结合二项式定理得到结论。
解（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。
（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，
（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，
由，得
当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立
已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。
（I）求曲线的方程；
（II）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分
【解析】第一问中设为曲线上的任意一点，则点在圆上，
∴，曲线的方程为
第二问中，设点的坐标为，直线的方程为， ………………3分
代入曲线的方程，可得
∵，∴
确定结论直线与曲线总有两个公共点．
然后设点,的坐标分别, ，则，
要使被轴平分，只要得到。
（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，
∴，曲线的方程为． ………………2分
（2）设点的坐标为，直线的方程为， ………………3分
代入曲线的方程，可得 ，……5分
∵，∴，
∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）
………………6分
设点,的坐标分别, ，则，
要使被轴平分，只要， ………………9分
即，， ………………10分
也就是，，
即，即只要 ………………12分
当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．
所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
已知m>1，直线，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.[
【解析】第一问中因为直线经过点（，0），所以＝，得.又因为m>1，所以，故直线的方程为
第二问中设，由，消去x，得，
则由，知<8,且有
由题意知O为的中点.由可知从而，设M是GH的中点，则M（）.
由题意可知，2|MO|<|GH|,得到范围
，则有【 】
，则有【 】
是公差为d的等差数列，
是公比为q的等比数列
，是否存在
，有
？请说明理由；
（a、q为常数，且aq
0）对任意m存在k，有
，试求a、q满足的充要条件；
试确定所有的p,使数列
得
，整理后，可得
、
，
为整数
不存在
、
，使等式成立。
时，则
即
，其中
是大于等于
的整数
，
，其中
、
满足的充要条件是
当
为偶数时，
式左边为偶数，右边为奇数，
，整理
时，符合题意。当
，
和
使上式一定成立。
为圆
上的动点，且
轴上，
轴，垂足为
，线段
中点
的轨迹为曲线
，过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
，它与曲线
、
两点。
，使得
总能被
为曲线
在圆
上，
，曲线
，直线
， ………………3分 
，可得 
，∴
, 
，则
， 
得到。
，
，
， ………………10分
，
， 
，即只要
………………12分 
时，（＊）对任意的s都成立，从而
，使得
总能被
轴平分
，椭圆C：
，
、
分别为椭圆C的左、右焦点.
，0），所以
，得
.又因为m>1，所以
，故直线的方程为
，由
，消去x，得
，
，知
<8,且有
可知
从而
，设M是GH的中点，则M（
）.