求函数f(x)=2x-的定义域为.(1)当a=-1时.求函数y=f(x)的值域,在定义域上是减函数.求a的取值范围,在x∈(0.1］上的最大值及最小值.并求出函数取最值时x的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

求函数f(x)=2x-的定义域为(0，1］(a为实数).

(1)当a=-1时，求函数y=f(x)的值域；

(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；

(3)求函数y=f(x)在x∈(0，1］上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值.

试题答案

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思路解析：判断函数的单调性，往往可用定义法，但有时采用求导的方式更方便.至于求区间上的最值，根据单调性易求.

解：(1)显然函数y=f(x)的值域为［2，+∞).

(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x₁，x₂∈(0，1］且x₁＜x₂都有f(x₁)＞f(x₂)成立，即(x₁-x₂)(2+)＞0，只要a ＜-2x₁x₂即可，由x₁，x₂∈(0，1］，故-2x₁x₂∈(-2，0)，所以a≤-2，故a的取值范围是(-∞，-2］.

(3)当a≥0时，函数y=f(x)在(0，1］上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2-a；

由(2)得当a≤-2时，函数y=f(x)在(0，1)上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2-a；

当-2＜a＜0时，函数y=f(x)在(0，)上单调减，在，1上单调增，无最大值，当x=时取得最小值2.

评注：用定义研究函数的单调性是研究函数单调性的基本方法，需要注意的是在函数单调性定义中须有f(x₁)＞f(x₂)对于x₁，x₂∈(0，1］恒成立.对于有参变量的函数要用运动的观点分析参变量对函数的影响，该题目中需要对增减变化的分界线分析，以确定其增减性.分类讨论是数学的基本思想之一，需要同学们很好地去领悟.