Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （I）由△ABC为等边三角形可得PA=AC，于是AE⊥PC，通过证明CD⊥平面PAC得出CD⊥AE，故而AE⊥平面PCD；
（II）取AC中点F，连接BF、PF，则可证明BF⊥平面PAC，故∠BPF为PB与平面PAC所成的角，利用勾股定理求出BF，PF即可得出tan∠BPF．

解答 证明：（I）∵∠ABC=60°，AB=BC=PA
∴△ABC为等边三角形，∴PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，∵AE?平面PAC，
∴CD⊥AE
又∵AE⊥PC，PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴AE⊥平面PCD．
（II）取AC中点F，连接BF、PF，
∵AB=BC，F为AC中点，∴BF⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BF?底面ABCD，∴PA⊥BF，
又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BF⊥平面PAC．
∴∠BPF为PB与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴PA⊥AC．
设PA=AB=BC=AC=2a，∴AF=a，PF=$\sqrt{P{A}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，$BF=\sqrt{3}a$
∴$tan∠BPF=\frac{{\sqrt{3}a}}{{\sqrt{5}a}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴PB和平面PAC所成的角的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．