Question

12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，则不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{2}$的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （0，1）
• C． （0，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．

解答 解：设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{2}$=$\frac{1}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$，
即g（log₂x）=f（log₂x）-$\frac{1}{2}$log₂x＞$\frac{1}{2}$=g（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$=g（log₂2），
∴log₂x＜log₂2，又y=log₂x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{2}$的解集为（0，2）．
故选：C．

点评 此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．