Question

11．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-1．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1．可得当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．na_n=n•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-1．∴当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2^n-1．
na_n=n•2^n-1．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．