Question

17．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（　　）

• A． $\frac{1}{16}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 分别构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴$\frac{f（1）}{1}$＜$\frac{f（2）}{4}$，∴$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$．
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴$\frac{f（1）}{1}$＞$\frac{f（2）}{8}$，∴$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$．
综上可得：$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．