题目内容

设函数 $数学公式$
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若对一切正实数x恒有 $数学公式$ ，求a的范围．

解：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg $\text{[math]}$
∴f（1000）=lg100•lg $\text{[math]}$ =2×（-7）=-14
（2）∵f（10）=lg（10a）•lg $\text{[math]}$ =（1+lga）（lga-2）=lg²a-lga-2=10
∴lg²a-lga-12=0
∴（lga-4）（lga+3）=0
∴lga=4或lga=-3
a=10⁴或a=10^-3
（3）∵对一切正实数x恒有 $\text{[math]}$
∴lg（ax）•lg $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 对一切正实数恒成立
即（lga+lgx）（lga-2lgx） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 对任意正实数x恒成立
∵x＞0，∴lgx∈R
由二次函数的性质可得， $\text{[math]}$
∴lg²a≤1
∴-1≤lga≤1
∴ $\text{[math]}$ 0
分析：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg $\text{[math]}$ ，把x=1000代入可求
（2）由f（10）=lg（10a）•lg $\text{[math]}$ =（1+lga）（lga-2）=lg²a-lga-2=10可求lga，进而可求a
（3）由对一切正实数x恒有 $\text{[math]}$ 可得lg（ax）•lg $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 对一切正实数恒成立，整理可得 $\text{[math]}$ 对任意正实数x恒成立，由x＞0，lgx∈R，结合二次函数的性质可得， $\text{[math]}$ ，从而可求
点评：本题主要考查了对数的基本运算性质的应用，二次函数恒成立问题的求解，属于基本公式及基本方法的简单应用．