题目内容

已知a＞b＞0，求证：
(a-b)2
8a
＜
a+b
2
-
ab
＜
(a-b)2
8b
．
分析：可以看出中间项为
(
a
-
b
)
2
2＞0，可采用做商比较法或做差比较法．
解答：解：∵
a+b
2
-
ab
=
(
a
-
b
)
2
2
又
(
a
-
b
)
2
2
(a-b)2
8a
=
4a
(
a
+
b
) 2
=
4a
a+b+2
ab
=
4
1+
b
a
+ 2
b
a
=
4
(1+
b
a
)2

∵a＞b＞0，∴0＜
b
a
＜1，所以上式大于1，
故
(a-b)2
8a
＜
a+b
2
-
ab
成立，
同理可证
a+b
2
-
ab
＜
(a-b)2
8b
点评：本题为证明不等式，做商比较法或做差比较法是证明不等式的常用方法，做商比较法一般用在各项均正的条件下．
练习册系列答案
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（1）已知a，b＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）求证：
3
+
7
＜2
5
．
已知a＞b＞0，求证：a+
1
b
＞b+
1
a
．
（Ⅰ）已知a＞b＞0，求证：
a
-
b
＜
a-b
；
（Ⅱ）已知x，y，z均为实数，且a=x2-2y+
π
2
，b=y2-2z+
π
3
，c=z2-2x+
π
6
求证：a，b，c中至少有一个大于0．
（Ⅰ）已知a＞b＞0，求证：-＜；
（Ⅱ）已知x，y，z均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+求证：a，b，c中至少有一个大于0．

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