Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（3）证明：

C

mm

+2

C

mm+1

+3

C

mm+2

+…+n

C

mm+n-1

=[

(m+1)n+1

m+2

]

C

m+1m+n

．

Answer 1

（1）f₁₁（x）=（1+x）¹¹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，①
考察（1-x）¹¹展开式的项，与①式奇数项相同，偶数项互为相反数．
∴（1+x）¹¹-（1-x）¹¹=2（a₁x+a₃x³+…+2a₁₁x¹¹），
令x=1得 a₁+a₃+…+a₁₁=

(1+1)11-011

2

=1024．
 （2）f_n（x）=（1+x）ⁿ．展开式中含x⁶项为T₇=C_n⁶x⁶，系数为C_n⁶．
g（x）中含x⁶项的系数等于C₆⁶+2C₇⁶+3C₈⁶=99．
证明：（3）设h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+…+n（1+x）^m+n-1（1）
则函数h（x）中含x^m项的系数为C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m
（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+…+n（1+x）^{m+n （2）}
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n-1-n（1+x）^m+n -xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n
h（x）中含x^m项的系数，即是等式左边含x^m+2项的系数，
等式右边含x^m+2项的系数为-C_m+n^m+2+nC_m+n^m+1

=- (m+n)! (m+2)!(n-2)! + n(m+n)! (m+1)!(n-1)! = -(n-1)+n(m+2) m+2 × (m+n)! (m+1)!(n-1)1

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1m+n

所以C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1m+n