Question

17．已知函数f（x）=$1-\frac{2}{{{3^x}+1}}$
（Ⅰ）用定义证明f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，求函数的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定义证明即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性即可求出函数的值域．

解答 （Ⅰ）证明：f（x）=$1-\frac{2}{{{3^x}+1}}$
设x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}$-（1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{{2（{3^{x_2}}-{3^{x_1}}）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}$．
∵x₁＜x₂，
∴${3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}$＞0，
又∵${3^{x_1}}+1＞0$，${3}^{{x}_{2}}+1$＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在x∈[-1，2]时单调递增
∴函数的最大值为f（2）=$\frac{4}{5}$，函数的最小值为f（-1）=-$\frac{1}{2}$
∴函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$]

点评 本题考查了函数单调性的定义证明和函数值域的求法，属于基础题．