Question

设向量

a

=（sinx，cos2x），

b

=（

3

cosx，

1

2

），函数f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）若0＜α＜

π

3

，f（

α

2

）=

4

5

，求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+

π

6

），由周期公式即可得解．
（2）注意到角α=(α+

π

6

)-

π

6

，由已知先求得sin（α+

π

6

），cos（α+

π

6

）的值，从而由两角差的余弦公式即可代入求解．

解答： （本题12分）
解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+

1

2

cos2x…（2分）
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)…（4分）
所以最正周期T=

2π

2

=π…（5分）
（2）由f(

α

2

)=

4

5

得：sin(α+

π

6

)=

4

5

…（6分）
所以cos2(α+

π

6

)=

9

25

，
因为0＜α＜

π

3

，
所以

π

6

＜α＜

π

2

，

π

3

＜α+

π

6

＜

π

2

+

π

6

，
所以…cos(α+

π

6

)=

3

5

…（9分）
cosα=cos(α+

π

6

-

π

6

)=cos(α+

π

6

)cos

π

6

+sin(α+

π

6

)sin

π

6

…（11分） 
=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

…（12分）

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换，三角函数的周期性及其求法及倍角公式，两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题．