Question

6．在平面直角坐标系xOy中，曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）上的两点A，B对应的参数分别为α，α+$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求AB中点M的轨迹的普通方程；
（Ⅱ）求点（1，1）到直线AB距离的最大值．

Answer 1

分析 （I）A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（-$\sqrt{2}$sinα，$\sqrt{2}$cosα）．设M（x，y），则x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-sinα+cosα），y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）．平方相加即可得出．
（II）k_AB=$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$，利用点斜式可得：（sinα-cosα）x-（sinα+cosα）y+$\sqrt{2}$=0．利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（I）A（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），B（-$\sqrt{2}$sinα，$\sqrt{2}$cosα）．设M（x，y），则x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-sinα+cosα），y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）．
∴AB中点M的轨迹的普通方程为：x²+y²=1．
（II）k_AB=$\frac{\sqrt{2}cosα-\sqrt{2}sinα}{-\sqrt{2}sinα-\sqrt{2}cosα}$=$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$，
∴y-$\sqrt{2}$sinα=$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$（x-$\sqrt{2}$cosα），化为：（sinα-cosα）x-（sinα+cosα）y+$\sqrt{2}$=0．
∴点（1，1）到直线AB距离=$\frac{|sinα-cosα-sinα-cosα+\sqrt{2}|}{\sqrt{（sinα-cosα）^{2}+（sinα+cosα）^{2}}}$=|$\sqrt{2}$cosα-1|≤$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．