Question

2．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一个周期上的图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}，α∈[-\frac{5π}{2}，-2π]$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
（3）由条件求得cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一个周期上的图象，
可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2，
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=0，∴ω=-$\frac{2π}{3}$，∴$f（x）=\sqrt{3}sin（2x-\frac{2π}{3}）$．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，可得函数的减区间为$[{\frac{7π}{12}+kπ，\frac{13π}{12}+kπ}]k∈Z$．
（3）若$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}，α∈[-\frac{5π}{2}，-2π]$，则$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cosα=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$，∴sinα=-$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．