Question

17．设G是△ABC的重心，且$\sqrt{7}\overrightarrow{GA}sinA+3\overrightarrow{GB}sinB+3\sqrt{7}\overrightarrow{GC}sinC=\overrightarrow 0$，则角B的大小为60°．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，再根据G为三角形重心，利用中线的性质及向量法则变形，求出a，b，c，利用余弦定理表示出cosB，即可确定出B的度数．

解答 解：∵G是重心，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}$，
∵$\sqrt{7}\overrightarrow{GA}sinA+3\overrightarrow{GB}sinB+3\sqrt{7}\overrightarrow{GC}sinC=\overrightarrow 0$，
∴$\sqrt{7}$（-$\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}$）sinA+3$\overrightarrow{GB}$sinB+3$\sqrt{7}$$\overrightarrow{GC}$sinC=$\overrightarrow{0}$，
∴（3sinB-$\sqrt{7}$sinA）$\overrightarrow{GB}$+（3$\sqrt{7}$sinC-$\sqrt{7}$sinA）$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{GC}$不共线，
∴3sinB=$\sqrt{7}$sinA=3$\sqrt{7}$sinC，
∴3b=$\sqrt{7}$a=3$\sqrt{7}$c，
设3b=$\sqrt{7}$a=3$\sqrt{7}$c=k，k＞0，
则a=$\frac{k}{\sqrt{7}}$，b=$\frac{k}{3}$，c=$\frac{k}{3\sqrt{7}}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{7}+\frac{{k}^{2}}{63}-\frac{{k}^{2}}{9}}{2×\frac{k}{\sqrt{7}}×\frac{k}{3\sqrt{7}}}$=$\frac{1}{2}$，
0°＜B＜180°
∴B=60°．
故答案为：60°．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．