Question

1．已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x（x，a∈R）．
（1）当a=-$\frac{5}{2}$，求函数f（x）的极小值；
（2）若f（x）在R单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a=-$\frac{5}{2}$时，函数f（x）=（x²-$\frac{5}{2}$x+2）e^x，求出f（x）的导数，求得极值点，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到极小值f（1）；
（2）求出f（x）的导数，由于e^x＞0恒成立，可令g（x）=x²+（2+a）x+a+2，结合二次函数的图象和性质，可得f（x）在R单调递增，即为g（x）≥0恒成立，运用判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=-$\frac{5}{2}$时，函数f（x）=（x²-$\frac{5}{2}$x+2）e^x，
可得导数f′（x）=（x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）e^x，
由f′（x）=0，可得x=1或-$\frac{1}{2}$，
当x＞1或x＜-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（1，+∞）递增；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）递减．
可得f（x）在x=1处取得极小值，且为f（1）=$\frac{1}{2}$e；
（2）函数f（x）=（x²+ax+2）e^x的导数为
f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+2）e^x=[x²+（2+a）x+a+2]e^x，
由于e^x＞0恒成立，可令g（x）=x²+（2+a）x+a+2，
由f（x）在R单调，结合二次函数的图象和性质，
可得f（x）在R单调递增，即为g（x）≥0恒成立，
即有△=（2+a）²-4（2+a）≤0，
解得-2≤a≤2．
则a的取值范围是[-2，2]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查单调性的判断和二次不等式恒成立问题的解法，注意结合二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．