Question

5．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2≥0}\\{x+2y+1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则z=（x+1）²+（y-2）²的最小值是$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2≥0}\\{x+2y+1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$对应的平面区域，
则z的几何意义为区域内点P到点D（-1，2）的距离平方的最小值；
由图象可知，当DP垂直于直线x+2y+1=0时，
此时DP最小，|DP|=$\frac{|-1+4+1|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
则z=|DP|²=$\frac{16}{5}$，
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．