Question

已知向量，，且．

求及；

若的最小值是，求实数的值；

设，若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件及平面向量的坐标表示与模的坐标表示，

可以得到；

由（1）可得，原问题等价为求使的最小值为的的值，这是一个二次函数与三角函数的复合函数，需分别讨论以下三种情况：①，②，③下取得最小值的情况，从而可以得到；（3）当时，，根据正弦函数在及上取值的对称性，设，要保证题中方程有两个不同的解，必须保证方程，在仅有一根或有两个相等根，由一元二次方程根的分布，可得或．

（1）∵，，

∴

∵， ∴ ∴ 4分

（2）由（1）得，即

∵， ∴

①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾．

②当时，当且仅当时，取最小值

由已知得，解得

③当时，当且仅当时，取得最小值．

由已知得，解得，这与相矛盾．

综上所述，为所求． 9分；

根据正弦函数在及上取值的对称性，因此设问题等价于方程，在仅有一根或有两个相等根，∴或∴或

综上，的取值范围是：或 14分．

考点：1．平面向量数量积与模的坐标表示；2．二次函数与三角函数综合；3．一元二次方程根的分布．