Question

16．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒4次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．

Answer 1

分析 设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a₁=1-$\frac{1}{a}$，操作n次后的浓度为a_n，则a_n+1=a_n（1-$\frac{1}{a}$），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a₁=1-$\frac{1}{a}$，
操作n次后的浓度为a_n，则a_n+1=a_n（1-$\frac{1}{a}$），
∴数列{a_n}构成a₁=1-$\frac{1}{a}$为首项，q=1-$\frac{1}{a}$为公比的等比数列，
∴a_n=（1-$\frac{1}{a}$）ⁿ，即第n次操作后溶液的浓度为（1-$\frac{1}{a}$）ⁿ；
当a=2时，可得a_n=（1-$\frac{1}{a}$）ⁿ=$（\frac{1}{2}）^{n}$，由a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{1}{10}$，解得n＞4．
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．
故答案为：4．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．