Question

20．设P为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的动点，F₁、F₂为椭圆C的焦点，I为△PF₁F₂的内心，则直线IF₁和直线IF₂的斜率之积（　　）

• A． 是定值
• B． 非定值，但存在最大值
• C． 非定值，但存在最小值
• D． 非定值，且不存在最值

Answer 1

分析 连接PI并延长交x轴于G，再由内角平分线定理可得$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G}{P{F}_{1}}$，$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{2}G}{P{F}_{2}}$，即$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G+{F}_{2}G}{P{F}_{1}+P{F}_{2}}=\frac{c}{a}=e$，设P（x₀，y₀），I（x_I，y_I），G（x_G，0），代入椭圆方程可求出${y}_{I}=\frac{c{y}_{0}}{a+c}$，又$\frac{c-{x}_{G}}{{x}_{G}+c}=\frac{a-e{x}_{0}}{a+e{x}_{0}}$，得${x}_{G}={e}^{2}{x}_{0}$，进一步求出$\frac{{x}_{I}-{x}_{G}}{{x}_{0}-{x}_{G}}=\frac{c}{a+c}$，得x_I=ex₀，再求出${k}_{I{F}_{1}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}+c}$，${k}_{I{F}_{2}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}-c}$，化简直线IF₁和直线IF₂的斜率之积即可得答案．

解答 解：如图，连接PI并延长交x轴于G，
则由内角平分线定理可得$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G}{P{F}_{1}}$，$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{2}G}{P{F}_{2}}$，
∴$\frac{GI}{IP}=\frac{{F}_{1}G+{F}_{2}G}{P{F}_{1}+P{F}_{2}}=\frac{c}{a}=e$．
设P（x₀，y₀），I（x_I，y_I），G（x_G，0）．
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴$\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}={b}^{2}$．
∴$\frac{{y}_{I}}{{y}_{0}}=\frac{c}{a+c}$，${y}_{I}=\frac{c{y}_{0}}{a+c}$．
又$\frac{c-{x}_{G}}{{x}_{G}+c}=\frac{a-e{x}_{0}}{a+e{x}_{0}}$，得${x}_{G}={e}^{2}{x}_{0}$．
∴$\frac{{x}_{I}-{x}_{G}}{{x}_{0}-{x}_{G}}=\frac{c}{a+c}$，得x_I=ex₀．
∴${k}_{I{F}_{1}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}+c}$，${k}_{I{F}_{2}}=\frac{{y}_{I}}{{x}_{I}-c}$，
则${k}_{I{F}_{1}}•{k}_{I{F}_{2}}$==-$\frac{\frac{{c}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{（a+c）^{2}}}{{c}^{2}-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{（a+c）^{2}}•\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{（a+c）^{2}}$．
∴直线IF₁和直线IF₂的斜率之积是定值．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了内角平分线定理的应用，是中档题．