Question

关于x的方程e^x-ax=0（e为自然对数的底数）有唯一解，则a的取值范围是

1. A.
   a≤e
2. B.
   0＜a≤e
3. C.
   a=e或a＜0
4. D.
   a＜0

Answer 1

C
分析：在同一个坐标系中，画出y=e^x 的图象与 y=ax 的图象，2个图象的交点个数就等于方程e^x-ax=0的解的个数，从而求得a的取值范围．
解答：由函数y=e^x 的图象可得，当a＜0时，y=e^x 的图象与 y=ax 只有一个交点，关于x的方程e^x-ax=0（e为自然对数的底数）有唯一解，满足条件．
当a=1时，y=e^x 的图象与 y=ax 相切于一个点（1，e），关于x的方程e^x-ax=0（e为自然对数的底数）有唯一解，满足条件．
当a≠e且 a＞0 时，y=e^x 的图象与 y=ax 无交点，或有2个交点，关于x的方程e^x-ax=0无解或有2解，不满足条件．
故a的取值范围是a=e或a＜0，
故选C．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于基础题．