Question

19．如图，在△ABC中，已知$∠BAC=\frac{π}{3}$，AB=2，AC=4，点D为边BC上一点，满足$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AD}$，点E是AD上一点，满足$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{ED}$，则BE=$\frac{2\sqrt{21}}{9}$．

Answer 1

分析 可作图：延长AB到F，使得AF=2AB，并连接CF，取CF的中点O，连接AO，则可以说明A，D，O三点共线，且得到AO⊥CF，$∠CAO=\frac{π}{6}$，根据条件便可求出$AO=2\sqrt{3}$，从而可得到$AD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．进一步便由$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$得出AE=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$，这样在△ABE中由余弦定理即可求出BE的值．

解答 解：如图，

延长AB到F，使AF=2AB，连接CF，则：AC=AF；
取CF中点O，连接AO，则：$\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{AD}$；
∴A，D，O三点共线；
又$∠BAC=\frac{π}{3}$；
∴$∠CAO=\frac{π}{6}$，且AO⊥CF，AC=4；
∴$AO=2\sqrt{3}$；
∴$AD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
又$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$；
∴$AE=2ED=\frac{2}{3}AD=\frac{8\sqrt{3}}{9}$，且AB=2，$∠BAE=\frac{π}{6}$；
∴在△ABE中，由余弦定理得：$B{E}^{2}=4+\frac{64}{27}-2×2×\frac{8\sqrt{3}}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{28}{27}$；
∴$BE=\frac{2\sqrt{21}}{9}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{9}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，等腰三角形的中线也是高线，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，以及余弦定理．