Question

14．已知有向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为120°，若$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$两向量夹角的余弦值．

Answer 1

分析 欲求$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$两向量夹角的余弦值，只需根据已知条件推知$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$、|$\overrightarrow{c}$|，|$\overrightarrow{d}$|的值即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为120°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos120°=2×1×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∵$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（3$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=-3．
∴$\overrightarrow{c}$²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=4+1-2=3，
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$．
同理，|$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{13}$．
∴$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$两向量夹角的余弦值为：$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{d|}}$=$\frac{-3}{\sqrt{3}×\sqrt{13}}$=-$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题．