Question

在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为45°，则四边形EFGH的面积为（　　）

• A、

  2

  16

  a2
• B、

  2

  8

  a2
• C、

  2

  4

  a2
• D、

  2

  2

  a2

Answer 1

分析：先证明四边形EFGH为平行四边形，再证明相邻的边相等即得：四边形EFGH的为菱形且其中一个内角为45°，代入面积公式计算．

解答：解：因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且2EH=BD=a．
同理，FG∥BD，EF∥AC，且2FG=BD，2EF=AC=a．
所以EH∥FG，且EH=FG．且∠FEH为异面直线AC与BD所成的角，
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC=BD，
所以EF=EH=

a

2

．
所以四边形EFGH为菱形．
∵AC与BD所成的角为45°，
∴∠FEH=45°或135°，
∴S=

a

2

×

a

2

×sin45°=

2

8

a²．
故选B．

点评：主要考查了线线平行的证明，三角形的中位线定理及异面直线所成角的定义及应用，注意证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等相等．