Question

7．已知2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2，
（1）求x的取值范围；
（2）求函数y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2的值域．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的单调性，把不等式化为x²+x≤-2（x-2），从而求出x的取值范围；
（2）根据（1）中x的取值范围，求出t=x²+x的取值范围，即可求出函数y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2值域．

解答 解：（1）不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤（$\frac{1}{4}$）^x-2可化为
${2}^{{x}^{2}+x}$≤2^-2（x-2），
即x²+x≤-2（x-2），
整理得x²+3x-4≤0，
解得-4≤x≤1，
所以x的取值范围是-4≤x≤1；
（2）当-4≤x≤1时，设t=x²+x=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
则x=-$\frac{1}{2}$时，t=x²+x=-$\frac{1}{4}$为最小值，
函数y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2=${2}^{-\frac{1}{4}}$+2取得最小值；
x=-4时，t=x²+x=12为最大值，
函数y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2=2¹²+2取得最大值；
所以函数y=2${\;}^{{x}^{2}+x}$+2的值域是[${2}^{-\frac{1}{4}}$+2，2¹²+2]．

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化法与函数思想的应用问题，是综合性题目．