Question

17．已知a∈R，若关于x的方程x²+x+|a-$\frac{1}{4}$|+|a|=0没有实根，求a的取值范围（　　）

• A． [0，$\frac{1}{4}$]
• B． （0，$\frac{1}{4}$]
• C． （-∞，0]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与判别式△之间的关系，结合绝对值不等式的性质进行求解即可．

解答 解：若x²+x+|a-$\frac{1}{4}$|+|a|=0没有实根，
则判别式△=1-4（|a-$\frac{1}{4}$|+|a|）＜0，
即|a-$\frac{1}{4}$|+|a|＞$\frac{1}{4}$，
若a＞$\frac{1}{4}$，则不等式等价为a-$\frac{1}{4}$+a＞$\frac{1}{4}$，即a＞$\frac{1}{4}$，
若0≤a≤$\frac{1}{4}$，则不等式等价为-a+$\frac{1}{4}$+a＞$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{4}$此时不等式无解，
若a＜0，则不等式等价为-a+$\frac{1}{4}$-a＞$\frac{1}{4}$，即a＜0，
综上a＞$\frac{1}{4}$或a＜0，
即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，+∞），
故选：D

点评 本题主要考查一元二次方程根与判别式△之间的关系，结合绝对值不等式的解法是解决本题的关键．