Question

8．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=80，b=100，A=$\frac{π}{6}$，则此三角形是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 直角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 锐角或钝角三角形

Answer 1

分析 由题意和正弦定理求出sinB，根据正弦函数的性质和角B的范围，对B分类讨论并画出图形，分别利用内角和定理判断出△ABC的形状．

解答 解：∵a=80，b=100，A=$\frac{π}{6}$
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则sinB=$\frac{b•sinA}{a}$=$\frac{100×\frac{1}{2}}{80}$=$\frac{5}{8}$，
∵$\frac{1}{2}＜$sinB=$\frac{5}{8}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0＜B＜π，且b＞a，
∴∠B有两解，
①当B为锐角时，则B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
此时C=π-A-B=$\frac{5π}{6}-B$$∈（\frac{7π}{12}，\frac{2π}{3}）$，则C为钝角，
∴△ABC是钝角三角形，
②当B为钝角时，则B∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$），
此时C=π-A-B=$\frac{5π}{6}-B$$∈（0，\frac{π}{12}）$，成立，
∴△ABC是钝角三角形，
综上可得，△ABC一定是钝角三角形，
故选：C．

点评 本题考查正弦定理的应用，以及边角关系，考查数形结合思想，属于中档题．