Question

4．如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，直线DA⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OCE；
（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥OE，AB⊥OE，又AB∩AD=A，则OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；由$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，则∠COB=∠ADB，而∠ADB+∠ABD=90°，可证BD⊥OC，从而证明BD⊥平面OCE．
（2）过A作AF⊥BD，垂足F，可得直线AF∥平面OCE，由勾股定理可求BD，cos∠ADB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由DF=DAcos∠ADB即可计算求值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）证明：
∵AD⊥平面ABE，OE?平面ABE，
∴AD⊥OE；
∵AE=BE，AO=BO，
∴AB⊥OE，又AB∩AD=A，
∴OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；
∵$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴∠COB=∠ADB，
而∠ADB+∠ABD=90°，
则∠COB+∠ABD=90°，于是∠OMB=90°，即BD⊥OC；
又OE∩OC=O，故直线BD⊥平面OCE．…（6分）
（2）在线段BD上存在点F，使直线AF∥平面OCE．
过A作AF⊥BD，垂足F，由（Ⅰ）知AF∥OC，OC?平面OCE，AF?平面OCE，可得直线AF∥平面OCE．
Rt△DAB内，由勾股定理知BD=$2\sqrt{3}$，另有cos∠ADB=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
Rt△DAF内，DF=DAcos∠ADB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．