Question

9．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，D为BC边上任意一点，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$＜0的概率为$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
由此得出当点D在线段MC内时，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$＜0，从而求出对应的概率值．

解答 解：如图所示，
△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=2²+1²-2×2×1×cos120°=7，
∴BC=$\sqrt{7}$；
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
则$\frac{1}{2}$AM•BC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin120°，
∴AM=$\frac{2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）}^{2}}$=$\frac{5}{\sqrt{7}}$；
当点D在线段BM内时，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=|$\overrightarrow{AD}$|×|$\overrightarrow{DC}$|×cos∠ADB＜0，
故所求的概率为P=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{7}}}{\sqrt{7}}$=$\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与几何概型的概率计算问题，也考查了转化法与数形结合思想的应用问题，是基础题目．