Question

17．已知函数f（x）=|3-x|+|x+4|．
（1）解不等式f（x）≥9；
（2）设函数g（x）=a（x-4）+1，a∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得函数f（x）=|3-x|+|x+4|的图象位于直线g（x）=a（x-4）+1的上方，数形结合求得直线g（x）=a（x-4）+1的斜率a满足a≤2 且a＞-$\frac{3}{4}$，综合可得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|3-x|+|x+4|，由不等式f（x）≥9，可得|x-3|+|x+4|≥9，
故有$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4}\\{3-x+（-x-4）≥9}\end{array}\right.$ ①；或$\left\{\begin{array}{l}{-4≤x≤3}\\{3-x+x+4≥9}\end{array}\right.$ ②；或$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{x-3+x+4≥9}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-5，解②求得x∈∅，解③求得x≥4．
故原不等式的解集为（-∞，-5]∪[4，+∞）．
（2）∵函数g（x）=a（x-4）+1，a∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R恒成立，
故函数f（x）=|3-x|+|x+4|的图象（图中黑色部分）位于直线g（x）=a（x-4）+1的上方，
如图所示：
由于直线AB的斜率为$\frac{7-1}{-4-4}$=-$\frac{3}{4}$，函数f（x）的图象中以B为端点的射线的斜率为-2，以点C为端点的射线斜率为2，
故直线g（x）=a（x-4）+1的斜率a满足 a≤2 且a＞-$\frac{3}{4}$，即-$\frac{3}{4}$＜a≤2，
故要求的实数a的范围为 $（-\frac{3}{4}，2]$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．