Question

3．函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a，b是非零实数）的图象过点（1，3）和（2，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）奇偶性，并给出证明；
（3）用定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数的图象过点（1，3）和（2，3），用待定系数法求出a、b的值，可得函数的解析式．
（2）先判定函数的定义域关于原点对称，再根据f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）利用增函数的定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a，b是非零实数）的图象过点（1，3）和（2，3），
∴f（1）=a+b=3，f（2）=2a+$\frac{b}{2}$=3，解得a=1，b=2，∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$．
（2）根据f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且满足f（-x）=-x+$\frac{2}{-x}$=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）设x₂＞x₁＞2，∵f（x₂）-f（x₁）=x₂-x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（ x₂-x₁ ）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由题设可得  x₂-x₁＞0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，故函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的奇偶性的判定，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．