题目内容
如图，已知
，
，
，
分别是椭圆
的四个顶点，△
是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆
．
（1）求椭圆
及圆
的方程；
（2）若点
是圆
劣弧
上一动点（点
异于端点
，
），直线
分别交线段
，椭圆
于点
，
，直线
与
交于点
．
（ⅰ）求
的最大值；
（ⅱ）试问：.
.，
两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
（1）
，
，（2）（ⅰ）
，（ⅱ）
.
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，
，
，所以
，
，所以椭圆
的方程为
，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心
，
，所以圆
的方程为
（2）（ⅰ）本题关键分析出比值
暗示的解题方向，由于点
在
轴上，所以
，因此解题方向为利用斜率分别表示出点
与点
的横坐标. 设直线
的方程为
，与直线
的方程
联立，解得点
，联立
，消去
并整理得，
，解得点
,因此
当且仅当
时，取“=”， 所以
的最大值为
．（ⅱ）求出点
的横坐标，分析与点
的横坐标的和是否为常数. 直线.
.的方程为
，与直线
的方程
联立，解得点
，所以
、
两点的横坐标之和为
．
试题解析：（1）由题意知，
，
，
所以
，
，所以椭圆
的方程为
， 2分
易得圆心
，
，所以圆
的方程为
． 4分
（2）解：设直线
的方程为
，
与直线
的方程
联立，解得点
， 6分
联立
，消去
并整理得，
，解得点
，
9分
（ⅰ）
，当且仅当
时，取“=”，
所以
的最大值为
． 12分
（ⅱ）直线
的方程为
，
与直线
的方程
联立，解得点
， 14分
所以
、
两点的横坐标之和为
．
故
、
两点的横坐标之和为定值，该定值为
． 16分
考点：椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系
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，函数
。
时，讨论函数
的单调性；
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；
时，函数
图象上的点均在不等式
，所表示的平面区域内，求实数
的取值范围。
袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .
．在区间
上随机取一
，则使得
的概率为 ．
的圆心为
，半径为
，点
为圆
上异于极点
的动点，求弦
中点的轨迹的极坐标方程．
中，已知
，
，
，
，
，则
．
的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=2，AC=3，则
= .